[대학수학] 파스칼의 정리 & 원뿔 곡선의 성질

* 파스칼의 정리

- 파스칼 (Pascal, 1623~1662) 원뿔곡선의 기본적인 성질 발견 -> 종합기하학 영향을 줌

- 원뿔곡선에 대한 파스칼의 정리

: 원뿔곡선에 내접하는 육각형의 서로 마주 보는 변의 (연장의) 교점들은 한 직선 위에 있다.

원뿔곡선의 증명, 출처 : 아주대학교

 

- 파스칼의 정리 :원뿔곡선에 내접하는 육각형의 서로 마주 보는 변의 (연장의) 교점들은 한 직선 위에 있다.

 

- 참고 : 파푸스의 정리와 비교

두 직선 𝑓, 𝑔가 있을 때 𝑓 위의 세 점 1, 3, 5와 𝑔 위의 세 점 2, 4, 6을 1234561의 차례로 연결하면, 이 육각형의 맞변 12와 45의 교점 7, 23과 56의 교점 8, 34와 61의 교점 9는 동일 직선 위에 있다.

 

출처 : Chat GPT

 

* 원뿔곡선의 성질

- 세 가지 원뿔곡선의 성질 (타원)

타원 위의 한 점 P에서 두 초   점 F, F' 까지의 거리의 합은 일정(2𝑎)하다.

이때 점 P에서 그은 접선에   관하여 표시된 두 각은 같다. 즉, F에서 나오는 광선은   타원에 반사되어 F'에 도달한다.

-> PF + PF' = constant

출처 : 아주대학교

 

- 세 가지 원뿔곡선의 성질 (쌍곡선)

쌍곡선 위의 한 점 P로부터 두 초점 F, F' 까지의 거리의 차는 일정(±2𝑎)하다.

이때 점 P에서 그은 접선에 관하여 표시된 두 각은 같다. 즉, F에서 나오는 광선은 쌍곡선에서 반사되어 마치 F'에서 나오는 것처럼 진행 한다.

IPF − PF'I = constant

출처 : 아주대학교

 

- 세 가지 원뿔곡선의 성질 (포물선)

포물선 위의 한 점 P에서 준 선 P에서 초점 F 까지의 거리는 같다.

점 P에서 그은 접선에 관하   여 표시된 두 각은 같다. 즉, 점 F에서 나오는 광선은   포물선에서 반사되어 모두 평행하게 나타난다.

PF = PP

출처 : 아주대학교

 

이상으로 글을 마치도록 하겠습니다.

감사합니다.