[대학수학] 프랙털이란 무엇인가

-  프랙털 : 프랙털은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말합니다.

   이런 특징를 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 합니다.

 

프랙털 나무

 

- 관련된 예시)

1) 코흐의 눈송이

2) 시어핀스키의 삼각형

3) (자연)번개

4) 망델브로 집합

5) (자연)강

 

- 프랙털 집합의 예

 

시어핀스키 삼각형

-> 처음 삼각형 : S0

-> S0의 각 변의 중점을 연결하여 만들어진 네 개의 합동인 작은 삼각형 중 가운데 한 개를 제외한 나머지를 S1이라 합니다.

-> S1의 세 삼각형 각각에 대하여 네 개의 합동인 삼각형으로 나누어 가운데 부분을 버리고 남은 것들의 집합을 S2이라 합니다.

-> 이와 같은 과정을 반복하여 얻어진 극한 집합을 시어핀스키 삼각형이라 합니다.

시어핀스키 삼각형

 

 

- 프랙털 차원 : 프랙털 도형 A가, 이를 1/N로 축소된 도형이 겹치지 않고 A에 N개 포함되는 성질을 가지면, A의 프랙털 차원 d는 다음 식으로 정의합니다.

 

d = ln N / ln n

 

예시1) 칸토르 집합 : ln 2 / ln 3 => 약 0.6309

예시2) 시어핀스키 삼각형 :  ln 3 / ln 2 => 약 1.585

 

- 망델브로 집합 : 복소 이차함수계 Qc(z) = z^2 + c의 줄리아 집합이 프랙털 먼지가 되지 않는 파라미터 c들의 집합을 말합니다.

 

특징)

1) 대표적인 프랙털

2) 적당한 부분을 확대해 보면 전체와 닮은 모양을 확인할 수 있음

3) 경계는 다양한 패턴들을 포함하고 있음

 

망델브로 집합

 

 

이상으로 글을 마치도록 하겠습니다!

감사합니다