[대학수학] 오일러 함수&정리&증명

* 오일러 함수

𝜙 𝑛  = 집합 ℤ×의 원소의 개수

예) 𝜙 5  = 4, 𝜙 8  = 4, 𝜙 15  = 8

𝜙 𝑛  : 1 부터 𝑛 까지의 정수 중 𝑛 과 서로 소인 것들의 개수

         정수 중 𝑛 과 서로 소인 것들의 개수

 

 

𝜙 1 = 1

𝑝가 소수이면 𝜙 𝑝  = 𝑝 − 1

더 일반적으로, 𝑝가 소수이면 𝜙 𝑝k  = 𝑝k–1(𝑝 − 1)

𝑚, 𝑛이 서로 소이면, 𝜙(mn) = 𝜙 (m 𝜙 n)

 

* 오일러  정리

오일러는 ‘한 점으로부터 짝수 개의 선이 나와 있는 것을 짝수점, 홀수 개의 선이 나와 있는 것을 홀수점이라 하면, 짝수점만으로 되어 있는 도형이나, 홀수점이 2개인 도형으로서 그 한쪽을 출발점, 나머지 하나를 종점으로 하는 경우에만 한붓그리기는 가능하다’는 한붓그리기의 ‘오일러의 정리’ 를 발표했다.

오일러 정리 예시

 

* 오일러 증명 : 다면체 공식

구와 위상동형인 2차원 폐다면체의 꼭지점의 수𝑣, 변의 수𝑒, 면의 수 𝑓 사이에는 다음 관계가 성립한다.

 

𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 2

 

보다 일반적으로

𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 𝑥

 

예시) 축구공 문제

 

조건 : 

축구공을 만들기 위해 오각형과 육각형만 사용한다.

각각의 오각형은 육각형과만 만난다.

꼭지점은 세 개의 면이 만나 이룬다.

 

𝑃: # of pentagons

𝐻: # of hexagons

면의 개수 𝑓 = 𝑃 + 𝐻

꼭지점의 개수 𝑣 = 5P+6H / 3

모서리의 개수 𝑒 = 5P+6H /2

 

오일러의 정리 적용

(𝑃 + 𝐻)  − (5P+6H)/2 + (5P+6H)/3 = 2

따라서, P = 12

 

이상으로 글을 마치도록 하겠습니다

감사합니다!